Question

4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，已知tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，OB=4，OD=2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E，使△CDE与△COB的面积相等，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据解直角三角形求得点A、点B以及点C的坐标，利用A、B两点的坐标求得一次函数解析式，利用点C的坐标求得反比例函数解析式；
（2）根据△CDE与△COB的面积相等，求得DE的长，即可得出点E的坐标．

解答 解：（1）∵OB=4，OD=2
∴DB=2+4=6
∵CD⊥x轴，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$
∴OA=2，CD=3
∴A（0，2），B（4，0），C（-2，3）
设直线AB解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2
设反比例函数解析式为y=$\frac{m}{x}$，则
将C（-2，3）代入，得m=-2×3=-6
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{6}{x}$；

（2）∵△CDE与△COB的面积相等
∴$\frac{1}{2}$×CD×DE=$\frac{1}{2}$×CD×OB
∴DE=OB=4
∴点E的坐标为（-6，0）或（2，0）．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握根据待定系数法求两个函数解析式的方法．解答此类试题时注意：求一次函数解析式需要图象上两个点的坐标，而求反比例函数解析式需要图象上一个点的坐标即可．