Question

14．两块全等的矩形纸片ABCD和EFGH按图1所示放置在圆的内部，顶点A和G在圆上，边BC和EH在直径PQ上．
（1）判断：图1是不是中心对称图形？如果是，请画出它的对称中心；
（2）连接AG，求证：AG是圆的直径．
（3）在图1中纸片ABCD的右侧再拼接一块相同的纸片CDMN，如图2所示，如果AB=3，AD=$\frac{41}{8}$，BE=$\frac{23}{8}$
求证：GN是圆的切线．

Answer 1

分析 （1）由圆的对称性可知，两块全等矩形按图1所示放置，该图形是中心对称图形，对称中心是对应点连线段的交点，即为圆心；
（2）由中心对称的性质可知：A与G是对称点，所以AG必过对称中心，即AG过圆心，所以AG是圆的直径；
（3）利用AB、AD与BE的长度和对称性，分别求出OH、HG、HN的长度，由于HG²=OH•HN，所以易证△OHG∽△GHN，利用对应角相等，即可求得∠OGN=90°．

解答 解：（1）由题意知，该图形是中心对称图形，
对称中心为圆心，如图1所示；

（2）由中心对称图形的性质可知，点A与G是对称点，
∴AG必定过对称中心，
∴AG过圆心，
∴AG是圆的直径；

（3）设圆心为O，连接OG，
由对称性可知：BE=CH=$\frac{23}{8}$，
∵AD=BC，
∴EC=BC-BE=$\frac{9}{4}$，
∴由对称性可知：OC=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{9}{8}$，
∴OH=OC+CH=4，
HN=CN-CH=$\frac{9}{4}$，
∴矩形ABCD与矩形EHGF全等，
∴HG=AB=3，
∴HG²=OH•HN，
∵∠OHG=∠NHM，
∴△OHG∽△GHN，
∴∠HOG=∠HGN，
∴∠EGH+∠HGN=∠EGH+∠HOG=90°，
∴∠OGN=90°，
∴GN是圆O的切线．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及中心对称图形的性质，切线判定，相似三角形判定与性质，内容较为综合，需要学生灵活运用所学知识进行解答．