题目内容
16．已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B、C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，延长MF，交边BC的延长线于点H，如图①，求证：AB+BE=AM；
（2）如图②当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，请直接写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；
（3）如图③当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，当正方形边长为4，AM=3时，请直接写出BE的长；
（4）若BE=3，∠AFM=15°，直接写出AM的值．
分析 （1）可证明△ABE≌△CHF，则有AB=HE，且AM=HE，可证得结论；
（2）可证明△ABE≌△EHF，可得到AB=EH，可得到AM+BE=AB；
（3）可证明△ABE≌△EHF，可得到AB=HE，则可得AM+AB=BE，可求得BE的长；
（4）可分析知当∠AFM=15°时，只能是图2和图3，在图2中，可求得∠BAE=30°，在图3中可求得∠AEB=30°，可求得AB的长，再利用相应的关系式可求得AM的值．
解答 （1）证明：
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE=EF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠ECD=90°，
∴∠AEB+∠EAB=∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠EAB=∠FEH，
∵MH⊥CD，
∴∠FHE=∠B=90°，
在△ABE和△CHF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EHF}\\{∠EAB=∠FEH}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CHF（AAS），
∴AB=HE，
∵AM=BH，
∴AB+BE=BE+HE=BH=AM；
（2）解：同（1）可知AE=EF，∠FHE=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE和△CHF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠HEF}\\{∠ABE=∠FHE}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CHF（AAS），
∴AB=HE，
∵AM=BH，
∴AB-BE=HE-BE=HB=AM；
（3）解：同（1）可知AE=EF，∠FHE=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE和△CHF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠HEF}\\{∠ABE=∠FHE}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CHF（AAS），
∴AB=HE，
∵AM=BH，
∴AB+AM=HE+BH=BE，
又AB=4，AM=3，
∴BE=AB+AM=7；
（4）解：
当E点在线段BC上时，
∵MH∥AB，
∴∠FAB=∠AFM=45°+∠EAB≠15°，故E点不能在线段BC上，
①当点E在线段CB的延长线上时，则有∠AFM=∠FAB=15°，
∵∠FAE=45°，
∴∠BAE=30°，则∠AEB=60°，
∴AB=BE•tan60°=3$\sqrt{3}$，
∴AM=AB-BE=3$\sqrt{3}$-3；
②当点E在边BC的延长线上时，同理可求得∠AEB=30°，
此时有AB=BE•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴AM=BE-AB=3-$\sqrt{3}$，
综上可知当BE=3，∠AFM=15°时，AM的值为3$\sqrt{3}$-3或3-$\sqrt{3}$．
点评 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角函数的定义及分类讨论思想等．在解决每一问时，证明三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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