Question

18．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，等腰Rt△OAB的顶点B在第一象限，直角边OA在y轴上，点P是边AB上的一个三等分点，过点P的反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交斜边OB于点Q，△AOQ的面积为3，则k的值为2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 过点Q作QD⊥y轴于点D，根据等腰三角形的性质可设点B（a，a）、点Q（b，b），则点P为（$\frac{1}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）或（$\frac{2}{3}$a，a），根据反比例函数图象上点的坐标特征结合△AOQ的面积为3，即可求出b²的值，进而即可得出k值．

解答 解：过点Q作QD⊥y轴于点D，如图所示．
∵△OAB为等腰直角三角形，QD⊥y轴，
∴△DDQ为等腰三角形，
∴设点B（a，a），点Q（b，b）（a＞0，b＞0），则点P为（$\frac{1}{3}$a，$\frac{1}{3}$a）或（$\frac{2}{3}$a，a）．
∵点P、Q在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=$\frac{1}{3}$a²=b²或k=$\frac{2}{3}$a²=b²，
∴a=$\sqrt{3}$b或a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$b．
又∵S_△OAQ=$\frac{1}{2}$ab=3，
∴b²=2$\sqrt{3}$或b²=2$\sqrt{6}$，
∴k=2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，根据反比例函数图象上点的坐标特征结合△AOQ的面积为3，求出b²的值是解题的关键．