题目内容

在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OP⊥BE分别交AB，CD于P，Q．
探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；
探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；
再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．

解：（1）如图①结论：AE=MP+NQ．
证明：过Q作QQ'⊥AB于Q'，

则∠MQ′Q=90°，
∵MN⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形AMND为矩形，
∴MN=AD=AB，
∴∠Q′MN=∠QNM=90°，
∴四边形MNQQ′为矩形，
∴QQ′=MN=AB，NQ=Q′M，

在△BAE和△QQ′P中，
∵PQ⊥BE，
∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°，
∵∠ABE+∠Q′PQ=90°，
∴∠Q′QP=∠ABE，
∵∠PQ′Q=∠BAE=90°，QQ′=AB，
∴△BAE≌△QQ′P．
∴Q′P=AE，
∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ，
∴AE=MP+NQ．

（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，结论AE=QN-MP．

（3）如图，若点E₁在线段DH上时，结论：AE₁=MP₁+NQ₁．
若点E₂在射线HG上时，结论：AE₂=MP₂-NQ₂．
分析：（1）过Q作QQ'⊥AB于Q'，则∠MQ′Q=90°，证明四边形AMND为矩形，然后又证明四边形MNOQ′为矩形，最后可证明△BAE≌△QQ′P后可证得AE=MP+NQ．
（2）画出图形可得若点E在DA的延长线上时，结论为AE=QN-MP
（3）画出辅助线，可得若点E₁在线段DH上时，结论为AE₁=MP₁+NQ₁；当点E₂在射线HG上时，推出AE₂=MP₂-NQ₂．
点评：本题考查全等三角形的判定定理以及正方形的性质的综合运用．