Question

10．已知A（0，1），B（2，4），在x轴上找一点P，则AP+BP的最小值为$\sqrt{29}$．

Answer 1

分析 先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，连接A′B交x轴于P，此时PA+PB最小，用待定系数法求出直线A′B的解析式，然后求出直线与x轴的交点即可；过点B作BC⊥OA，在直角三角形BCA′中利用勾股定理求出A′B的长即可．

解答 解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，此时PA+PB最小，则PA+PB=A′B，
过点B作BC⊥OA，
∵A（0，1），
∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（0，-1），
∵点B（2，4），
∴CO=4，BC=2，
∴CA′=5，
∴A′B=$\sqrt{{5}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{29}$．
∴AP+BP的最小值为$\sqrt{29}$，
故答案为：$\sqrt{29}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题以及勾股定理的运用，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．