Question

1．观察下列一组等式的规律，然后解答后面的问题．
（$\sqrt{2}$+1）（$\sqrt{2}$-1）=1；
（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1；
（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）=1；
（$\sqrt{5}$+$\sqrt{4}$）（$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$）=1；
…
（1）计算：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}$；
（2）比较$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$与$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$的大小．

Answer 1

分析 （1）先进行分母有理化，再利用规律求解即可，
（2）先化简，再比较即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$，
=$\sqrt{2015}$-1；
（2）$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$=$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$，$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$=$\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，
∵$\sqrt{11}$+$\sqrt{10}$＜$\sqrt{12}$+$\sqrt{11}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{10}}$＞$\frac{1}{\sqrt{12}+\sqrt{11}}$，
∴$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$＞$\sqrt{12}$-$\sqrt{11}$．

点评 本题主要考查了分母有理化，解题的关键是正确的化简．