Question

8．为倡导节能减排，重庆某公司用480万元购得“变频调速技术”后，进一步投入资金1520万元购买配套设备，以提高用电效率达到节约用电的目的．已知该公司生产的产品“草甘磷”每件成本费为40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x元，年销售量为y万件，年获利为w万元．（年获利=年销售额-生产成本-节电投资）
（1）直接写出y与x间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w与x的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）若该公司把“草甘磷”的销售单价定在超过100元，但不超过200元的范围内，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价．在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？

Answer 1

分析 （1）分段讨论当100＜x≤200和当200＜x≤300的函数关系式，
（2）由年获利=年销售额-生产成本-节电投资分别列出当100＜x≤200和200＜x≤300的利润关系式，求出最大利润，
（3）依题意可知，当100＜x≤200时，写出第二年w与x关系为式，由第二年的盈利为1842万元，解得单价x．

解答 解：（1）当100＜x≤200时，
y=20-$\frac{x-100}{10}$×0.8
=-0.08x+28，
可见x=200元时，y=28-16=12（万件）
当200＜x≤300时，
y=12-$\frac{x-200}{10}$×1=-0.1x+32；

（2）投资成本为480+1520=2000万元
y=-0.08x+28，100≤x＜200，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.08x+28）-2000
=-0.08x²+31.2x-3120
=-0.08（x-195）²-78
可见第一年在100≤x＜200注定亏损，x=195时亏损最少，为78万元
200≤x≤300，y=-0.1x+32，
w=xy-40y-2000
=（x-40）（-0.1x+32）-2000
=-0.1x²+36x-3280
=-0.1（x-180）²-40
可见第一年在200≤x≤300注定亏损，x=200时亏损最少，为80万元
综上可见，x=195时亏损最少，为78万元．

（3）依题意可知，当100＜x≤200时，第二年w与x之间的函数关系为
w=（x-40）（-0.08x+28）-78，
当总利润刚好为1842万元时，依题意得（x-40）（-0.08x+28）-78=1842
整理，得x²-390x+38000=0，
解得，x₁=190，x₂=200
答：要使产品销售量最大，销售单价应定为190元或200元．

点评 本题主要考查了二次函数在实际中应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄懂题意，确定变量，建立函数模型解答，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值．