Question

8．小明根据华师版八年级下册教材P37学习内容，对函数y=$\frac{1}{2}$x²的图象和性质进行了探究，试将如下尚不完整的过程补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：

x	…	-4	n	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	8	4.5	2	0.5	0	0.5	2	4.5	8	…

其中n=-3；
（2）如图，在平面直角三角形坐标系xOy中，已描出了以上表中的部分数值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的大致图象．
（3）根据画出的函数图象，小明观察发现：该函数有最小值，没有最大值；当函数值取最小时，自变量x的值为0．
（4）进一步探究函数的图象发现：
①若点A（x_a，y_a），点B（x_b，y_b）在函数y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$的图象上；
当x_a＜x_b＜0时，y_a与y_b的大小关系是y_a＞y_b；
当0＜x_a＜x_b时，y_a与y_b的大小关系是y_a＜y_b；
②直线y₁恰好经过函数的图象上的点（-2，2）与（1，0.5）；当y＜y₁时，x的取值范围是-2＜x＜1．

Answer 1

分析 （1）代入y=4.5，可求出x=±3，结合表格中数据可得出a=-3；
（2）描点、连线，画出函数图象；
（3）找出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；
（4）①观察函数图象，找出当x＜0时和当x＞0时函数值的增减性，由此即可得出结论；
②画出直线，根据两函数图象的上下位置关系即可得出结论．

解答 解：（1）当y=$\frac{1}{2}$x²=4.5时，x=±3，
∴n=-3．
故答案为：-3．
（2）描点、连线，画出函数图象．
（3）观察函数图象可知：抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴当x=0时，y取最小值．
故答案为：0．
（4）①观察函数图象可知：当x＜0时，y值随x值的增大而减小；当x＞0时，y值随x值的增大而增大．
∴当x_a＜x_b＜0时，y_a＞y_b；当0＜x_a＜x_b时，y_a＜y_b．
故答案为：y_a＞y_b；y_a＜y_b．
②在图中画出直线y₁，观察函数图象可知：当-2＜x＜1时，直线在抛物线上方，
∴当y＜y₁时，x的取值范围是-2＜x＜1．
故答案为：-2＜x＜1．

点评 本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a值；（2）描点、连线，画出函数图象；（3）找出抛物线的顶点坐标；（4）①根据函数的性质找出函数值的增减性；②根据两函数图象的上下位置关系解决问题．