Question

如图，已知△ABD和△AEC中，AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，CD、BE相交于点P．
（1）△ABE经过怎样的运动可以与△ADC重合；
（2）用全等三角形判定方法证明：BE=DC；
（3）求∠BPC的度数；
（4）在（3）的基础上，小智经过深入探究后发现：射线AP平分∠BPC，请判断小智的发现是否正确，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）根据旋转的性质即可求得．
（2）先证得∠BAE=∠DAC，然后根据已知条件即可证得△ABE≌△ADC，进而求得BE=DC；
（3）由于△ABE≌△ADC，所以∠ABE=∠ADC，所以∠AFD=∠PFB，根据三角形的内角和得出∠BPD=∠DAB=60°，所以∠BPC=120°；
（4）作AM⊥CD，AN⊥BE，先证得△ADM≌△ABN，再证得Rt△APM≌Rt△APN，即可求得．

解答：（1）证明：∵∠DAB=∠EAC=60°，
∴△ABE绕点A顺时针方向旋转60°可以与△ADC重合；
（2）证明：∵∠DAB=∠EAC=60°，
∴，∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE与△DAC中，

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；
（3）解：∵△ABE≌△ADC
∴∠ABE=∠ADC，
设BE与DC相交于F，
∴∠AFD=∠PFB，
∴∠BPD=∠DAB=60°，
∴∠BPC=120°；
（4）证明：作AM⊥CD，AN⊥BE，垂足分别为M、N，
∴∠AMD=∠ANB=90°，
在△AMD与△ANB中，

∠ABE=∠ADC ∠AMD=∠ANB=90° AD=AB

∴△ADM≌△ABN（AAS），
∴AM=AN，
在RT△AMP与RT△ANP中

AM=AN AP=AP

∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），
∴∠APM=∠APN，
∴PA平分∠DPE．

点评：本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形全等的判定以及三角形内角和的性质等．