Question

10．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形．

Answer 1

分析 （1）由M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，根据三角形中位线的性质，可证得ME∥PC，EN∥PD，继而证得四边形PMEN是平行四边形；
（2）由AP=BP=5，可证得△APD≌△BPC（SAS），继而可得PD=PC，则可得PM=EM=EN=PN，继而证得四边形PMEN是菱形．

解答 （1）证明：∵M，E分别为PD，CD的中点，
∴ME∥PC，
同理可证：ME∥PD，
∴四边形PMEN为平行四边形；

（2）解：当PA=5时，四边形PMEN为菱形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵AP=5，AB=CD=10，
∴AP=BP，
在△APD和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BP}\\{∠A=∠B}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△BPC（SAS），
∴PD=PC，
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴EN=PM=$\frac{1}{2}$PD，PN=EM=$\frac{1}{2}$PC，
∴PM=EM=EN=PN，
∴四边形PMEN是菱形．

点评 此题考查了矩形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意利用三角形中位线的性质求解是关键．