Question

12．如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，将△BEC沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处．若△AEF∽△FEC∽△DFC，则$\frac{AB}{BC}$的值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由折叠的性质得出△FEC≌△BEC，得出BC=FC，∠BEC=∠FEC，由△AEF∽△FEC∽△DFC，得出∠AEF=∠DFC=∠FEC，求出∠DFC=60°，在Rt△CDF中，运用三角函数sin∠DFC=$\frac{DC}{FC}$=$\frac{AB}{BC}$，即可得出结果．

解答 解：由折叠的性质得：△FEC≌△BEC，
∴BC=FC，∠BEC=∠FEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，
∵△AEF∽△FEC∽△DFC，
∴∠AEF=∠DFC=∠FEC，
∴∠AEF=∠FEC=∠BEC，
∴∠DFC=60°，
在Rt△CDF中，sin∠DFC=$\frac{DC}{FC}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、相似三角形的性质、三角函数；熟练掌握矩形的性质、折叠的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．