Question

如图，直线y=-

3

4

x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点P、Q同时从A点出发，点P以每秒1个单位的速度沿AO向点O匀速运动，点Q以每秒a个单位的速度沿AB向B点匀速运动，当其中一点到达端点后另一点也停止运动．
（1）求线段AB的长；
（2）在整个运动过程中，若Q的速度a为定值，那么

AQ

AP

的值是否发生变化？若不发生变化，直接写出

AQ

AP

的值；若发生变化，请说明理由．
（3）在整个运动过程中，若要使△APQ成为等腰三角形，求满足条件的a的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）在y=-

3

4

x+6中分别令y=0和x=0，可求得A、B的坐标，可得OA、OB的长度，在Rt△AOB中由勾股定理可求得AB；
（2）设运动时间为t秒，可分别表示出AQ、AP的长度，则可求得

AQ

AP

=a，为定值；
（3）设运动时间为t，分AP=AQ、AQ=PQ和AP=PQ三种情况，用t可分别表示出AQ和AP的长，再结合等腰三角形的性质可分别得到关于t的方程，分别求解，即可得到满足条件的a的值．

解答：解：（1）在直线y=-

3

4

x+6中，令y=0可得x=8，令x=0可得y=0，
∴OA=8，OB=6，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=10；
（2）不发生变化，其值为a．
设运动时间为t秒，则可知AP=t，AQ=at，
∴

AQ

AP

=

at

t

=a，
∵a为定值，
∴

AQ

AP

的值不发生变化，其值为a；
（3）设运动时间为t秒，则AQ=at，AP=t，
∵△APQ为等腰三角形，
∴有AP=AQ、AQ=PQ和AP=PQ三种情况．
①当AP=AQ时，即at=t，解得a=1；
②当AQ=PQ时，过Q作QE⊥AP，交AP于点E，如图1，

则AE=

1

2

AP=

1

2

t，
又∵QE∥OB，
∴

AE

OA

=

AQ

AB

，即

1 2 t

8

=

at

10

，解得a=

5

8

；
③当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ，交AQ于点F，如图2，

则AF=

1

2

AQ=

1

2

at，
在△AFP和△AOB中，
∠FAP=∠OAB，∠PFA=∠AOB，
∴△AFP∽△AOB，
∴

AF

OA

=

AP

AB

，即

1 2 at

8

=

t

10

，解得a=

8

5

，
综上可知，当a为1或

5

8

或

8

5

时，可使△APQ为等腰三角形．

点评：本题主要考查函数与坐标轴的交点及勾股定理、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的判定和性质等知识点的综合应用．在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，注意求与坐标轴交点的方法；在（2）中用时间表示出AQ和AP是解题的关键；在（3）中分三种情况，结合相似三角形、平行线分线段成比例等得到关于a的方程是解题的关键．本题综合性较强，但难度不大，注意分类讨论思想及化动为静方法的应用．