Question

如图，AB∥CD，BC∥AD，BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，F是BE的中点．
（1）试判断△ABE与△BEC的形状，请说明理由．
（2）试说明AF∥CE的理由．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质,等腰三角形的判定

专题：计算题

分析：（1）△ABE为等腰三角形，△BEC为直角三角形，理由为：由BE为角平分线得到一对角相等，由AD与BC平行得到一对内错角相等，等量代换得到∠ABE=∠AEB，利用等角对等边得到AB=AE，即三角形ABE为等腰三角形；由AB与CD平行，得到一对同旁内角互补，由BE与CE都为角平分线，利用等式的性质得到∠EBC+∠ECB=90°，即∠BEC=90°，即三角形BEC为直角三角形；
（2）由直角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．

解答：解：（1）△ABE为等腰三角形，△BEC为直角三角形，理由为：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=

1

2

∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE为等腰三角形；
∵CE平分∠DCB，BE平分∠ABC，
∴∠ECB=

1

2

∠BCD，∠CBE=

1

2

∠ABC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC为直角三角形；
（2）∵AB=AE，F是中点，
∴AF⊥BE，且CE⊥BE，
∴∠AFE=∠CEF=90°，
∴AF∥CE．

点评：此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．