Question

等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，G为重心，AE=AG，GE⊥AC，求GE、GH的长度．

Answer 1

考点：三角形的重心

专题：计算题

分析：延长AG交BC于D，连结GB，如图，根据重心的定义得到BD=CD=

1

2

BC=5，再利用等腰三角形的性质得AD⊥BC，则可根据勾股定理计算出AD=12，接着根据重心的性质计算出AG=

2

3

AD=8，则DG=AD-AG=4，然后在Rt△BDG中利用勾股定理计算出GB=

41

，证明Rt△AEG∽Rt△ADC，利用相似比计算出GE．

解答：解：延长AG交BC于D，连结GB，如图，
∵G为重心，
∴AD为△ABC的中线，即BD=CD=

1

2

BC=5，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵AB=13，BD=5，
∴AD=

AB2-BD2

=12，
∵G为重心，
∴AG=

2

3

AD=8，
∴DG=AD-AG=4，
在Rt△BDG中，∵BD=5，GD=4，
∴GB=

BD2+GD2

=

41

，
∵GE⊥AC，
∴∠AEG=90°，
而∠EAG=∠DAC，
∴Rt△AEG∽Rt△ADC，
∴

GE

CD

=

AG

AC

，即

GE

5

=

8

13

，
∴GE=

40

13

，
即GE、GB的长度分别为

40

13

，

41

点评：本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．