Question

11．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．点D为AC的中点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，CF．过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．

（1）若点E在线段DC上，如图1，
①依题意补全图1；
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）若E为线段DC的延长线上一点，如图2，且CE=$\sqrt{2}$，∠CFE=15°，请求出△FCH的面积∠CFE=12°，请写出求△FCH的面积的思路．（可以不写出计算结果）

Answer 1

分析 （1）①依题意补全图1
②延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠1=∠2=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH．所以CF=FH．
（2）通过证明△CEF≌△FGH（ASA）得出FC=FH，再求出FC的长，即可解答．

解答 解：（1）①如图1，

②FH与FC的数量关系是：FH=FC．
证明如下：如图2，延长DF交AB于点G，

由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且DC=$\frac{1}{2}$AC，
∴DG为△ABC的中位线，
∴DG=$\frac{1}{2}$BC．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
在△CEF和△FGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠CEF=∠FGH}\\{FC=FH}\end{array}\right.$
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．
（2）如图3，

∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵点D为AC的中点，DF∥BC，
∴DG=$\frac{1}{2}$BC，DC=$\frac{1}{2}$AC，
∴DG=DC，
∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，
∴∠GFH=∠FCE，
在△FCE和△HFG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠FGH}\\{EC=GF}\\{∠ECF=∠GFH}\end{array}\right.$，
∴△FCE≌△HFG（ASA），
∴HF=FC，
∵∠EDF=90°，DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵∠CFE=15°，
∴∠DFC=45°-15°=30°，
∴CF=2CD，DF=$\sqrt{3}$CD，
∵DE=DF，CE=$\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{2}$+CD=$\sqrt{3}$CD，
∴CD=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴CF=2CD=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．
∵∠CFH=90°，
∴△FCH的面积为：CF•CH•$\frac{1}{2}$=$（\sqrt{6}+\sqrt{2}）×（\sqrt{6}+\sqrt{2}）×\frac{1}{2}$=4+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，解决本题的关键是证明FC=FH．