Question

19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．连接DE交AC于F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）求证：DF∥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，得∠B=∠ACB，又有外角及角平分线的性质可得AN∥BC，再由垂直关系即可得出结论．
（2）由矩形的对角线相等且互相平分，得出∠FDC=∠FCD=∠B，即可DF∥AB，再由中位线定理可得DF=$\frac{1}{2}$AB．

解答 解：
（1）证明：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠ACB，
又∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB，
又AN平分∠MAC，
∴∠NAC=∠MAN=∠ACB，
∵∠MAN+∠CAN+∠BAD+∠CAD=180°，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
又CE⊥AN，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）证明：∵四边形ADCE为矩形，
对角线DE与AC相交于点F，
∴F是AC的中点，
∵D是BC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$AB．

点评 本题主要考查了矩形的判断和性质、平行线的判定、三角形中位线定理的运用及三角形外角的性质和角平分线的性质等，熟练掌握矩形的各种判断方法是解题的关键．