Question

15．已知△ADB为直角三角形，且∠BDA=90°，将△ADB沿BD翻折得△CDB，∠BAD的平分线交BD于F，交BC于E，过点C作AB的平行线交AF的延长线于G．
（1）如图1，若∠ABD=30°，求证；EG=$\frac{3}{2}$AF；
（2）如图2，若∠ABD=45°，则EG=2AF，请完成证明过程；
（3）在（2）的条件下，如图（3），在∠FAD的外部作∠DAH，使∠DAH=$\frac{1}{3}$∠FAC，过点B作BM∥AD交AG于点M，点N在AH上，连接MN与BN，若∠BMN与∠EAH互余，△ADB的面积为9，求BN的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明F是△ABC重心，可得AF=2EF，再证明AE=EG．
（2）如图2中，作BM∥AC交AG于M．首先证明点M是EG中点，再证明△BFA≌△BEM，即可解决问题．
（3）如图3中，连接CM．首先证明A、C、M在以B为圆心的圆上，再证明∠CMN=∠CAN，推出点N在⊙B上，可得BN=BM=AB，由ADB的面积为9，推出AD=BD=3$\sqrt{2}$，可得AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

由折叠的性质可知，∠ABC=2∠ABD=60°，BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AB∥CG，
∴∠BAE=∠AGC，
∴∠AGC=∠CAE，
∴CG=AC，
∴CG=AB，
∴EG=AE，
由题意得，点F是△ABC的重心，
∴AE=$\frac{3}{2}$AF，
∴EG=$\frac{3}{2}$AF；

（2）如图2中，作BM∥AC交AG于M．

∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
∵GA平分∠BAC，
∴∠MAB=∠MAC=∠AMB=22.5°，
∴AB=BC=BM，
∵∠ACB=∠CBM=45°，
∴∠BCM=∠BMC=67.5°，
∵∠CEM=∠AEB=67.5°，
∴∠MCE=∠MEC=67.5°，
∴MC=ME，
∵AB∥CG，
∴∠G=∠BAG=22.5°=∠GCM，
∴CM=MG=EM，
∵∠BFE=∠BAF+∠ABD=67.5°，∠AEB=∠BCA+∠EAC=67.5°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BF=BE，
在△BFA和△BEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BM}\\{∠ABF=∠MBE}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△BFA≌△BEM，
∴AF=EM=MG，
∴EG=2AF，
故答案为2．

（3）如图3中，连接CM．

∵BM∥AD，由（2）可知，BM=BA=BC，EM=MG，
∴A、C、M在以B为圆心的圆上，
∴∠AMC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∵∠FAC=22.5°，∠CAH=$\frac{1}{3}$∠FAC=7.5°，
∴∠FAH=∠FAC+∠CAH=30°，∠BMN=60°，
∴∠CMN=45°-（60°-22.5°）=7.5°，
∴∠CMN=∠CAN，
∴点N在⊙B上，
∴BN=BM=AB，
∵ADB的面积为9，
∴AD=BD=3$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=6，
∴BN=AB=6．

点评 本题考查几何变换、等边三角形的判定和性质．等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活应用所学知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．