Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE的交点为F，连接AF并延长交BC于G．
（1）AG与BC的关系为AG⊥BC；
（2）若tanα=1，求证：AF=2BG；
（3）若tanα=k，求AF：BG的值．

Answer 1

分析 （1）由条件可证明△BEC≌△CDB，可证得∠ECB=∠DBC，可得BF=FC，则可得出AF为BC的垂直平分线；
（2）当tanα=1时，可得AE=EC，可证明△AEF≌△CEB，可得AF=BC，结合（1）的结论，可得BC=2BG，可证得结论；
（3）由条件可证明△AEF∽△CEB，结合tanα=k，可求得AF：BC=AE：EC=k，结合BC=2BG，可求得AF：BG的值．

解答 解：
（1）∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠EBC=∠DCB，
在△BEC和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CDB}\\{∠EBC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△CDB（AAS），
∴∠ECB=∠DBC，
∴BF=FC，
∴AF为线段BC的垂直平分线，
故答案为：AF⊥BC；
（2）证明：
当tanα=1时，则$\frac{CE}{AE}$=1，即AE=CE，
由（1）可知AG⊥BC，
∴∠AEC=∠BEC=∠AGC=90°，
∴∠BAF+∠ABG=∠ABG+∠BCE=90°，
∴∠EAF=∠BCE，
在△AEF和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠ECB}\\{AE=CE}\\{∠AEF=∠BEC}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF=BC，
又AG⊥BC，AB=AC，
∴BC=2BG，
∴AF=2BG；
（3）同（2）可知∠EAF=∠ECB，∠AEF=∠BEC，
∴△AEF∽△CEB，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{tanα}$=$\frac{1}{k}$，
∵BC=2BG，
∴$\frac{AF}{2BG}$=$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{AF}{BG}$=$\frac{2}{k}$，
即AF：GB=2：k．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及三角函数的定义等．在（1）中证得BF=CF是解题的关键，在（2）、（3）中利用三角函数的定义得到线段之间的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．