Question

3．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道|x|=$\left\{\begin{array}{l}{x（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{-x（x＜0）}\end{array}\right.$现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令x+1=0和x-2=0，分别求得x=-1和x=2（称-1，2分别为|x+1|与|x-2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）x＜-1；（2）-1≤x＜2；（3）x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种情况：
（1）当x＜-1时，原式=-（x+1）-（x-2）=-2x+1；
（2）当-1≤x＜2时，原式=x+1-（x-2）=3；
（3）当x≥2时，原式=x+1+x-2=2x-1．
综上讨论，原式=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1（x＜-1）}\\{2（-1≤x＜2）}\\{2x-1（x≥2）}\end{array}\right.$
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出|x+2|和|x-4|的零点值；
（2）化简代数式|x+2|+|x-4|；
（3）解方程|x+2|+|x-4|=8．

Answer 1

分析 （1）令x+2=0，x-4=0求得x的值即可；
（2）分为x＜-2、-2≤x＜4，x≥4三种情况化简计算即可；
（3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可．

解答 解：（1）分别令x+2=0，x-4=0，解得：x=-2和x=4
所以|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4；
（2）当x＜-2时，原式=-（x+2）-（x-4）=-2x+2；
当-2≤x＜4时，原式=x+2-（x-4）=6；
当x≥4时，原式=x+2+x-4=2x-2．
综上讨论，原式=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2（x＜-2）}\\{6（-2≤x＜4）}\\{2x-2（x≥4）}\end{array}\right.$
（3）当x＜-2时，-2x+2=8，解得x=-3；
当x≥4时，2x-2=8，解得：x=5．
所以原方程的解为x=-3或x=5．

点评 本题主要考查的是化简绝对值，分类讨论是解题的关键．