题目内容
11．已知△ABC中，AB=AC，BC=6．点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，过点P作PF∥AQ交BC于点F，求证：△PDF≌△QDC；
（2）如图②，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（3）如图③，过点P作PE⊥BC于点E，在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由．
分析 （1）根据全等三角形的判定定理ASA进行证明；
（2）过点P作PF平行与AQ，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由ASA证明△PFD≌△QCD，得出DF=CD=$\frac{1}{2}$CF，再证出F是BC的中点，即可得出结果；
（3）过点P作PF∥AC交BC于F，首先证明BE=EF，根据DF=FC，即可解决问题．
解答 
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∵PF∥AC，
∴∠PFB=∠ACB
∴∠B=∠PFB，
∴BP=FP
由题意，BP=CQ，
∴FP=CQ
∵PF∥AC，
∴∠DPF=∠DQC．
又∠PDF=∠QDC，
∴△PFD≌△QCD；
（2）如图，过P点作PF∥AC交BC于F
∵点P为AB的中点，
∴F为BC的中点，
∴FC=$\frac{1}{2}$BC=3
由（1）知△PFD≌△QCD，CD=DF
∴CD=DF=$\frac{1}{2}$FC=$\frac{3}{2}$；
（3）线段DE的长度保持不变．
如图，过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB=PF
∵PE⊥BC，
∴BE=EF
由（1）知△PFD≌△QCD，CD=DF，
∴DE=EF+DF=$\frac{1}{2}$BC=3．
点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
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| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
6．
如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1． 点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（ ）
如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1． 点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为（ ）| A． | $\frac{2}{5}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | $\frac{4}{5}$ | D． | 1 |
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