Question

19．一列数a₁，a₂，a₃，…满足条件：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{1{-a}_{n-1}}$（n≥2，且n为整数），则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₇=1008$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出数列的前4项，继而得出数列的循环周期，然后根据所得的规律进行求解即可．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{1{-a}_{n-1}}$，
∴a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-2}$=-1，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
…
∴这列数每3个数为一循环周期，
∵2017÷3=672…1，
∴a₂₀₁₇=a₁=$\frac{1}{2}$，
又∵a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{2}$+2-1=$\frac{3}{2}$，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₇=672×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=1008$\frac{1}{2}$．
故答案为1008$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查了数字变化规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，解题时注意运用a_n=$\frac{1}{1{-a}_{n-1}}$进行计算．