Question

15．如图，AB为半⊙O的直径，CA与半圆O相切，四边形BOCD是平行四边形，BD与半⊙O交于点E
（1）求证：CE是半⊙O的切线；
（2）若CD=3，BD=5，求平行四边形BOCD的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE，求出∠AOC=∠EOC，证△CAO≌△CEO，根据全等三角形的性质得出∠CAO=∠CEO，根据切线的性质求出∠CAO=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出AC，根据平行四边形的面积公式求出即可．

解答 （1）证明：

连接OE，
∵OE=OB，
∴∠B=∠OEB，
∵四边形BOCD是平行四边形，
∴OC∥BD，
∴∠OEB=∠COE，∠B=∠AOC，
∴∠AOC=∠EOC，
在△CAO和△CEO中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠COA=∠COE}\\{OA=OE}\end{array}\right.$
∴△CAO≌△CEO，
∴∠CAO=∠CEO，
∵AC切⊙O于A，
∴∠CAO=90°，
∴∠CEO=90°，
∴CE是半⊙O的切线；

（2）解：∵四边形BOCD是平行四边形，CD=3，BD=5，
∴CD=OB=OA=3，CO=BD=5，
在Rt△CAO中，由勾股定理得：AC=4，
∴平行四边形BOCD的面积是3×4=12．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质和判定等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．