如图.在平面直角坐标系中.直线l经过原点.且与y轴正半轴所夹的锐角为60°.过点A(0.1)作y轴的垂线l于点B.过点B作作直线l的垂线交y轴于点A1.以A1B.AB为邻边作平行四边形A1BAC1,过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1.过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2.以A2B1．A1B1为邻边作平行四边形A2B1A1C2,-,则C1的坐标为.按此作法继续下去.则Cn� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线l于点B，过点B作作直线l的垂线交y轴于点A₁，以A₁B、AB为邻边作平行四边形A₁BAC₁；过点A₁作y轴的垂线交直线l于点B₁，过点B₁作直线l的垂线交y轴于点A₂，以A₂B₁．A₁B₁为邻边作平行四边形A₂B₁A₁C₂；…；则C₁的坐标为（-$\sqrt{3}$，4），按此作法继续下去，则C_n的坐标是（-$\sqrt{3}$×4^n-1，4ⁿ）．

分析先求出直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，设B点坐标为（x，1），根据直线l经过点B，求出B点坐标为（$\sqrt{3}$，1），解Rt△A₁AB，得出AA₁=3，OA₁=4，由平行四边形的性质得出A₁C₁=AB=$\sqrt{3}$，则C₁点的坐标为（-$\sqrt{3}$，4），即（-$\sqrt{3}$×4⁰，4¹）；根据直线l经过点B₁，求出B₁点坐标为（4$\sqrt{3}$，4），解Rt△A₂A₁B₁，得出A₁A₂=12，OA₂=16，由平行四边形的性质得出A₂C₂=A₁B₁=4$\sqrt{3}$，则C₂点的坐标为（-4$\sqrt{3}$，16），即（-$\sqrt{3}$×4¹，4²）；同理，可得C₃点的坐标为（-16$\sqrt{3}$，64），即（-$\sqrt{3}$×4²，4³）；进而得出规律，求得C_n的坐标是（-$\sqrt{3}$×4^n-1，4ⁿ）．

解答解：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，
∴直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵AB⊥y轴，点A（0，1），
∴可设B点坐标为（x，1），
将B（x，1）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，解得x=$\sqrt{3}$，
∴B点坐标为（$\sqrt{3}$，1），AB=$\sqrt{3}$．在Rt△A₁AB中，∠AA₁B=90°-60°=30°，∠A₁AB=90°，
∴AA₁=$\sqrt{3}$AB=3，OA₁=OA+AA₁=1+3=4，
∵?ABA₁C₁中，A₁C₁=AB=$\sqrt{3}$，
∴C₁点的坐标为（-$\sqrt{3}$，4），即（-$\sqrt{3}$×4⁰，4¹）；
由$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=4，解得x=4$\sqrt{3}$，
∴B₁点坐标为（4$\sqrt{3}$，4），A₁B₁=4$\sqrt{3}$．
在Rt△A₂A₁B₁中，∠A₁A₂B₁=30°，∠A₂A₁B₁=90°，
∴A₁A₂=$\sqrt{3}$A₁B₁=12，OA₂=OA₁+A₁A₂=4+12=16，
∵?A₁B₁A₂C₂中，A₂C₂=A₁B₁=4$\sqrt{3}$，
∴C₂点的坐标为（-4$\sqrt{3}$，16），即（-$\sqrt{3}$×4¹，4²）；
同理，可得C₃点的坐标为（-16$\sqrt{3}$，64），即（-$\sqrt{3}$×4²，4³）；
以此类推，则C_n的坐标是（-$\sqrt{3}$×4^n-1，4ⁿ）．
故答案为（-$\sqrt{3}$×4¹，4²），（-$\sqrt{3}$×4^n-1，4ⁿ）．