Question

如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF交AD于M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：EF、AD互相平分；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

Answer 1

考点：菱形的性质,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接BD，根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后求出EM∥BD，再判断出M是AD的中点，从而得证；
（2）判断出四边形FDBE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等求出BE，再求出AB，然后根据菱形的周长公式进行计算即可得解．

解答：（1）证明：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EM⊥AC，
∴EM∥BD，
∵E为AB的中点，
∴EM是△ABD的中位线，
∴M为AD的中点，EM=

1

2

BD．
∵EB∥FD，EM∥BD，
∴四边形FDBE是平行四边形，
∴EF=BD，
∴MF=EF-EM=BD-

1

2

BD=

1

2

BD，
∴EM=FM，
∴点M是EF的中点，
∴EF、AD互相平分；

（2）解：∵由（1）知，四边形FDBE是平行四边形，
∴FD=BE，
∵DF=2，
∴BE=2，
∴AB=2BE=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16．

点评：本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直的性质，菱形的四条边都相等的性质．解答（1）题也可以利用全等三角形的性质进行证明．