Question

如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC．当AB=4，DC=1，BC=4时，在BC上是否存在点P，使得AP⊥PD？若存在，求线段BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：利用△ABP∽△PCD得出∠BPA+∠DPC=90°，即∠APD=90°，求出BP的长即可．

解答：解：存在．
如图所示，AP⊥PD，
∴∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
又∵DC⊥BC，
∴∠DCP=90°，
∴∠PDC+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠PDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
设BP=x，则CP=4-x，
∴

AB

PC

=

BP

DC

，即4：（4-x）=x：1，
即x（4-x）=4，
则x²-4x+4=0，
即（x-2）²=0，
得出x=2，即BP=2．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出△ABP∽△PCD进而求出是解题关键．