Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=9cm，BC=6cm，O在AB上，若以O为圆心，画弧与BC相切于B，与CD相切于点E，交AD于点F，连结FO，若把扇形BOF剪下，围成一个圆锥的侧面（不计接口尺寸）．求：
（1）圆锥的底面半径；
（2）阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算,圆锥的计算

专题：计算题

分析：（1）连接OE，由CD与圆O相切，利用切线的性质得到OE垂直于CD，且OE为圆的半径，由AB-OB求出OA的长，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出AF的长，利用锐角三角函数定义求出cos∠AOF的值，确定出∠AOF的度数，进而得到∠BOF的度数，利用弧长公式求出弧BF长，即为圆锥的底面周长，求出圆锥底面半径即可；
（2）阴影部分面积=矩形AOED面积-三角形AOF面积-扇形EOF面积，求出即可．

解答：解：（1）连接OE，
∵CD与圆O相切，
∴OE⊥CD，且OE=OB=OF=BC=6cm，
∴矩形ABCD中，OA=AB-OB=9-6=3cm，
在Rt△AOF中，OA=3cm，OF=6cm，
∴cos∠AOF=

3

6

=

1

2

，即∠AOF=60°，AF=

OF2-OA2

=3

3

cm，
∴∠BOF=120°，
∴l弧长=

120π×6

180

=4π，
则圆锥得地面半径为

4π

2π

=2cm；
（2）∵∠BOF=120°，∠EOB=90°，
∴∠EOF=30°，
∴S_阴影=S_矩形AOED-S_△AOF-S_扇形EOF=3×6-

1

2

×3×3

3

-

30π×62

360

=18-

9 3

2

-3π．

点评：此题考查了切线的性质，扇形面积公式，弧长公式，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．