Question

2．阅读理解并填空：
（1）为了求代数式x²+2x+3的值，我们必须知道x的值，若x=1，则这个代数式的值为6；若x=2，则这个代数式的值为11，…，可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．
（2）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：x²+2x+3的最小值是2，这时相应的x的平方是1．
尝试探究并解答：
（3）求代数式x²-10x+35的最小值，并写出相应x的值．
（4）求代数式-x²-8x+15的最大值，并写出相应的x的值．
（5）改成已知y=-x²+6x-3，且x的值在数1-4（包含1和4）之间变化，试探求此时y的不同变化范围．（直接写出当x在哪个范围变化时，对应y的变化范围）．

Answer 1

分析 （1）把x=1和x=2分别代入代数式x²+2x+3中，再进行计算即可得出答案；
（2）根据非负数的性质即可得出答案；
（3）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
（4）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；
（5）先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质以及x的取值范围即可得出答案．

解答 解：（1）把x=1代入x²+2x+3中，得：1²+2+3=6；
若x=2，则这个代数式的值为2²+2×2+3=11；
故答案为6；11；

（2）根据题意可得：
x²+2x+3=（x²+2x+1）+2=（x+1）²+2，
∵（x+1）²是非负数，
∴这个代数式x²+2x+3的最小值是2，相应的x的平方是1．
故答案为2；1；

（3）∵x²-10x+35=（x-5）²+10，
∴代数式x²-10x+35的最小值是10，相应的x的值是5；

（4）∵-x²-8x+15=-（x+4）²+31，
∴-x²-8x+15的最大值是31，相应的x的值是-4；

（5）∵y=-x²+6x-3，
∴y=-（x-3）²+6，
∵x的值在数1～4（包含1和4）之间变化，
∴这时y的变化范围是：2≤y≤6．

点评 此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．