Question

14．（1）已知：如图（1），AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
（2）如图（2），AB是⊙O的切线，切点为A，OA=1，∠AOB=60°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由∠1=∠2，利用等式的性质得到∠EAD=∠BAC，利用ASA得到三角形AED与三角形ABC全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）阴影部分面积等于直角三角形AOB面积减去扇形AOC面积，求出即可．

解答 （1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC，
在△AED和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠BAC}\\{AE=AB}\\{∠E=∠B}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ABC（ASA），
∴ED=BC；
（2）解：∵AB为圆O的切线，
∴OA⊥AB，即∠BAO=90°，
在Rt△OAB中，OA=1，∠AOB=60°，
∴∠B=30°，
∴OB=2OA=2，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{3}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则S阴影=S_△AOB-S_扇形AOC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{60π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$．

点评 此题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，以及扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．