Question

3．已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．
（1）求证：△ADF≌△ABE；
（2）若BE=1，求tan∠AED的值．

Answer 1

分析 （1）根据辅助线的性质得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由邻补角的定义得到∠ADF=∠ABE=90°，于是得到结论；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{10}$，ED=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=5，根据三角形的面积S_△AED=$\frac{1}{2}$AD×BA=$\frac{9}{2}$，S_△ADE=$\frac{1}{2}$ED×AH=$\frac{9}{2}$，求得AH=1.8，由三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）正方形ABCD中，
∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ADF=∠ABE=90°，
在△ADF与△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADF=∠ABE}\\{DF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE；


（2）过点A作AH⊥DE于点H，
在Rt△ABE中，∵AB=BC=3，
∵BE=1，
∴AE=$\sqrt{10}$，ED=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∵S_△AED=$\frac{1}{2}$AD×BA=$\frac{9}{2}$，
S_△ADE=$\frac{1}{2}$ED×AH=$\frac{9}{2}$，
解出AH=1.8，
在Rt△AHE中，EH=2.6，
∴tan∠AED=$\frac{AH}{EH}=\frac{1.8}{2.6}=\frac{9}{13}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积倒计时，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．