Question

12．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在直线BC上，如果∠BAC=90°，
求证：CE+DC=BC
证明：∵∠BAC=∠DAE（已知）
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC（已知）}\\{∠BAD=∠CAE（已求）}\\{AD=AE（已知）}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE（全等三角形的对应法相等）
∵BD+DC=BC
∴CE+DC=BC．
（2）如图1，在（1）条件下，求：∠BCE的度数？
（3）如图2，当点D在线段BC上移动，设∠BAC=α，∠BCE=β，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定方法，补充条件即可解决问题；
（2）由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=45°，由△ABD≌△ACE，推出∠ACE=∠B=45°；
（3）由∠BAC=α，AB=AC，推出∠B=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α．，由△ABD≌△ACE，推出∠ACE=∠B推出β=90°-$\frac{1}{2}$α；

解答 解：（1）：∵∠BAC=∠DAE（已知）
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC（已知）}\\{∠BAD=∠CAE（已求）}\\{AD=AE（已知）}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE（全等三角形的对应法相等）
∵BD+DC=BC
∴CE+DC=BC．
故答案为ACE，SAS，BD=CE．

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=45°．

（3）∵∠BAC=α，AB=AC，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α．，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠B
∴β=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质．三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．