Question

14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=DG．
下列结论：（1）DE=DF；（2）∠B=∠DGF； （3）AB＜AF+FG；（4）若△ABD和△ADG的面积分别是50和38，则△DFG的面积是8．其中一定正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质可得出DE=DF，结论（1）正确；
（2）由DE=DF、∠BED=∠GFD、BD=GD可证出△BDE≌△GDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出∠B=∠DGF，结论（2）正确；
（3）利用全等三角形的判定定理AAS可证出△ADE≌△ADF，由此可得出AE=AF，根据△BDE≌△GDF可得出BE=GF，结合AB=AE+EB即可得出AB=AF+FG，结论（3）不正确；
（4）根据全等三角形的性质可得出S_△ADE=S_△ADF、S_△BDE=S_△GDF，结合S_△ABD=S_△ADE+S_△BDE=50、S_△ADG=S_△ADF-S_△GDF=38可求出△DFG的面积是6，结论（4）不正确．综上即可得出结论．

解答 解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，结论（1）正确；
（2）在△BDE和△GDF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠BED=∠GFD=90°}\\{BD=GD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△GDF（SAS），
∴∠B=∠DGF，结论（2）正确；
（3）在△ADE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FAD}\\{∠AED=∠AFD=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF．
∵△BDE≌△GDF，
∴BE=GF，
∴AB=AE+EB=AF+FG，结论（3）不正确；
（4）∵△ADE≌△ADF，△BDE≌△GDF，
∴S_△ADE=S_△ADF，S_△BDE=S_△GDF．
∵S_△ABD=S_△ADE+S_△BDE=50，S_△ADG=S_△ADF-S_△GDF=38，
∴S_△GDF=$\frac{50-38}{2}$=6，结论（4）不正确．
综上所述：正确的结论有（1）（2）．
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，根据全等三角形的判定与性质和角平分线的性质逐一分析四条结论的正误是解题的关键．