Question

12．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求?ABCD的周长．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得出OD=OB，DC∥AB，推出∠FDO=∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，由已知条件得出BC+AB=10，即可得出?ABCD的周长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FDO=∠EBO}&{\;}\\{OD=OB}&{\;}\\{∠FOD=∠EOB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴?ABCD的周长=2（BC+AB）=20．

点评 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．