Question

9．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB和BC延长线上的点，且AE=CF．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）连接EF，若AB=3，AE=1，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等进行证明即可；
（2）先求得BE=3-1=2，BF=3+1=4，再根据勾股定理，在Rt△BEF中，求得EF即可．

解答 解：（1）∵正方形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，则
∠DCF=∠A=90°，AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）∵AB=BC=3，CF=AE=1，
∴BE=3-1=2，BF=3+1=4，
∴Rt△BEF中，EF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及勾股定理的运用，解题时注意：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．