Question

4．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠COD=30°）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置
（1）如图2，当∠OAC为多少度时，OB恰好平分∠COD？
（2）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BDO，如果三角形OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由
（3）如图4，当三角板OCD转到∠AOB外部时，射线OM、ON仍然分别平分∠AOC、∠BOD，在旋转过程中，（2）中的结论是否成立？如果结论成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论并根据图4说明理由．

Answer 1

分析 （1）由图可得角之间的关系：∠BOD=90°-∠COD，∠AOC=90°-$\frac{1}{2}$∠COD，据此解答；
（2））由图可得角之间的关系：∠MON=$\frac{1}{2}$（∠AOB-∠COD）+∠COD，于是得到结论；
（3）由图可得角之间的关系；∠MON=∠MOC+∠NOD-30°，于是得到结论．

解答 解：∵∠BAC+∠ABP+∠BPF+∠AFP=360°，且∠BPF+∠BAC=180°，
∴∠ABP+∠AFP=180°，
（1）∵OB平分∠COD，∠COD=30°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠COD=15°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-15°=75°，

（2）∵∠AOB=90°，∠COD=30°，
∴∠AOC+∠BOD=90°-30°=60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC+∠NOD=$\frac{1}{2}$∠AOC+∠BOD）=30°，
∴∠MON=∠COD+∠MOC+∠NOD=30°+30°=60°，

（3）∵∠AOB=90°，∠COD=30°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-90°+∠COD=300°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC+∠NOD=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD）=150°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOD-∠COD=150°-30°=120°．

点评 本题考查了角的计算，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，对同学们的作图、分析、计算能力有较高要求．在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．