Question

19．已知：实数x满足$\frac{3x-1}{2}$-$\frac{7}{3}$≥x-$\frac{5+2x}{3}$，并且关于x的函数y=2|x-a|+a²的最小值为4，求常数a的值．

Answer 1

分析 首先得出x的取值范围，再利用当x=a时，当x＞a时分别得出答案．

解答 解：$\frac{3x-1}{2}$-$\frac{7}{3}$≥x-$\frac{5+2x}{3}$，
解得：x≥1，
当x=a时，y_最小=a²=4，
解得：a=±2，
∵x≥1，
∴a=2，
当x＞a时，y=2x+a²-2a，
∴当x=1时，
y_最小=2+a²-2a=4，
解得：a=$\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$=1±$\sqrt{3}$，
∵x≥a，
∴x≤1，
∴a=1-$\sqrt{3}$，
∴x＜a时，y=-2（x-a）+a²=-2x+a²+2a无最小值，
综上所述：a=2或a=1-$\sqrt{3}$时，y=2|x-a|+a²的最小值为4．

点评 此题主要考查了一次函数与不等式，正确分类讨论是解题关键．