Question

17．如图，平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°．点P从点A沿AB边向点B运动．速度为1cm/s，点Q从点C沿CD边向点D运动，速度为2cm/s，若运动时间为0＜t＜3.5，连接PQ．
（1）当t为何值时，四边形APQD为平行四边形；
（2）设四边形APQD的面积为S，求S与t的函数关系式？
（3）若点Q在线段CD上运动，是否存在某一时刻t，使得PQ⊥AB？存在，请求出相应的值，不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为AB∥CD，所以由平行四边形判定得：当DQ=AP时，四边形APQD为平行四边形，列方程求出t的值即可；
（2）两动点在运动过程中，四边形APQD为梯形或平行四边形，所以根据面积公式直接求出S的式子；
（3）作辅助线，构建矩形和直角三角形，得四边形DEPQ为矩形，则DQ=PE，列方程可求得t的值．

解答 解：（1）由题意得：AP=t，CQ=2t，则DQ=7-2t，
∵AB∥CD，
∴当四边形APQD为平行四边形时，DQ=AP，
则7-2t=t，
t=$\frac{7}{3}$，
∴当t=$\frac{7}{3}$时，四边形APQD为平行四边形；′
（2）如图2，过D作DE⊥AB于E，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，AD=BC=4，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=2，
如图1，S=$\frac{1}{2}$×2（AP+DQ）=t+7-2t，
S=-t+7，
（3）如图3，过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴PE=t-2$\sqrt{3}$，
当PQ⊥AB时，
∴DE∥PQ，∠APQ=90°，
∴四边形DEPQ为矩形，
∴DQ=PE，
∴7-2t=t-2$\sqrt{3}$，
t=$\frac{7+2\sqrt{3}}{3}$．
∴当t=$\frac{7+2\sqrt{3}}{3}$时，PQ⊥AB．

点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、矩形、梯形和直角三角形的性质和判定；同时也是动点型问题，对此类问题的具体作法是：①找出已知图形中已经有的条件或结论；②思考在运动过程中所形成的图形的判定方法，如形成平行四边形，要考虑加上什么条件构成平行四边形；如形成直角三角形，要分三种情况讨论等等，根据新的条件列式求出对应的结论．