Question

14．如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，这两个正方形重叠部分的面积为25．

Answer 1

分析 OM交BC于E，OP交CD于F，连结OB、OC，如图，根据正方形的性质得∠OBC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，∠MOP=90°，OB=OC，则利用等角的余角相等得∠BOE=∠COF，于是可根据“ASA”判断△BOE≌△COF，
所以S_△BOE=S_△COF，则S_{四边形OECF}=S_△OBC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=25．

解答 解：OM交BC于E，OP交CD于F，连结OB、OC，如图，
∵四边形ABCD和四边形OMNP为正方形，
∴∠OBC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，∠MOP=90°，OB=OC，
∵∠BOE+∠EOC=90°，∠FOC+∠EOC=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBE=∠OCF}\\{OB=OC}\\{∠BOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF，
∴S_△BOE=S_△COF，
∴S_{四边形OECF}=S_△OBC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}$×10×10=25，
即这两个正方形重叠部分的面积为25．
故答案为25．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．