Question

8．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点E、F分别在菱形的边BC、CD上运动，且∠EAF=60°且E、F不与B、C、D重合，连接AC交EF于P点．
（1）证明：不论E、F在BC、CD上如何运动，总有BE=CF；
（2）当BE=1时，求AP的长；
（3）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

Answer 1

分析 （1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）首先利用勾股定理得出AE的长，进而得出△AEF是等边三角形，进而得出△APF∽△AFC，进而求出AP的长；
（3）根据△ABE≌△ACF可得S_△ABE=S_△ACF，故根据S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF，则△CEF的面积就会最大．

解答 （1）证明：如图1，∵菱形ABCD，∠BAD=120°，
∵∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°
∴△ABC、△ACD为等边三角形
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AB=AC}\\{∠ABC=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF．

（2）解：如图2，过点E作EM⊥AB于点M，
∵BE=1，∠B=60°，∠BME=90°，
∴BM=$\frac{1}{2}$，则ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AM=$\frac{7}{2}$
∴AE=$\sqrt{A{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
由（1）得：AE=AF，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=$\sqrt{13}$，∠AFP=60°，
∴∠AFP=∠4，
又∵∠3=∠3，
∴△APF∽△AFC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AP}{AF}$，
∴$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{AP}{\sqrt{13}}$，
解得：AP=$\frac{13}{4}$；

（3）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S_△ABE=S_△ACF，
故S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF
=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值，
如图3，作AH⊥BC于H点，
则BH=2，
S_{四边形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH
=$\frac{1}{2}$BC•$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$
=4$\sqrt{3}$，
由“垂线段最短”可知，
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，
正三角形AEF的面积会最小，
又S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF，则△CEF的面积就会最大．
则S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF
=4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$
=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了四边形综合、菱形的性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算以及勾股定理等知识，利用菱形的性质进而得出△ABE≌△ACF是解题的关键．