Question

如图，已知直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）经过点A和点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段AD上取一点F（点F不与点A重合）．过点F作x轴的垂线交抛物线于点G、交x轴于点H．当FG=GH时，求点H的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线段AB上，当△AEM与△BCM相似时，求点M的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量的值，可得相应函数值，根据FG=GH，可得关于a的方程，解方程，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于b的方程，解方程，可得答案．

解答：解：（1）当y=0时，2x+6=0．解得x=-3，即A（-3，0），
由抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）经过点A（-3，0）和点B（1，0），得

9a-3b+2=0 a+b+2=0

，
解得

a=- 2 3 b=- 4 3

．
故抛物线为y=-

2

3

x²-

4

3

x+2；
（2）设H点的坐标为（a，0），F（a，2a+6），G（a，-

2

3

a²-

4

3

a+2）．
由FG=GH，得
2a+6=2（-

2

3

a²-

4

3

a+2）．
化简，得2a²+7a+3=0．
解得a=-

1

2

，a=-3（不符合题意要舍去），
点H的坐标（-

1

2

，0）；
（3）设M点坐标为（b，0），AM=b+3，BM=1-b，
抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，得
E（-1，4），C（0，2）．
由勾股定理，得
AE=2

5

，BC=

5

．
当△AEM∽△BCM时，

AE

BC

=

AM

BM

，即

2 5

5

=

b+3

1-b

．
化简，得3b=-1，解得b=-

1

3

，即M（-

1

3

，0）；
当△AEM∽△BMC时，

AE

BM

=

AM

BC

，即

2 5

1-b

=

b+3

5

，
化简，得b²+2b+7=0．实数b不存在；
综上所述：M（-

1

3

，0）．

点评：本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了线段中点的性质，（3）利用了相似三角形的性质．