Question

19．如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形平行四边形的性质得到AB∥CD  AB=CD，从而得到∠ABE=∠CDF，然后利用SAS证得两三角形全等即可；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等推知∠AEB=∠DFC，则等角的补角相等，即∠AEF=∠CFE，所以AE∥FC．根据“有一组对边平行且相等”证得结论．

解答 证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD  AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF  （SAS）；

（2）证明：∵由（1）知，△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．