Question

20．解答题唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事．诗云：

注：古代一斗是10升．
大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇 见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的19升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．
（1）列方程求壶中原有多少升酒；
（2）设壶中原有a₀升酒，在第n个店饮酒后壶中余a_n升酒，如第一次饮后所余酒为a₁=2a₀-19（升），第二次饮后所余酒为a₂=2a₁-19=2（2a₀-19）-19=2²a₀-（2¹+1）×19（升），…．
①用a_n-1的表达式表示a_n，再用a₀和n的表达式表示a_n；
②按照这个约定，如果在第4个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒．

Answer 1

分析 （1）分别表示出酒壶中剩余的酒量，利用在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒进而得出等式求出答案；
（2）①利用已知第一次饮后所余酒为a₁=2a₀-19（升），第二次饮后所余酒为a₂=2a₁-19=2（2a₀-19）-19=2²a₀-（2¹+1）×19（升），…，进而用a₀和n的表达式表示a_n；
②利用①中所求，进而代入求出答案．

解答 解：（1）设壶中原有x升酒．
依题意得：2[2（2x-19）-19]-19=0，
去中括号，得4（2x-19）-3×19=0．
去括号，得：8x-7×19=0．
系数化1，得x=16$\frac{5}{8}$，
答：壶中原有16$\frac{5}{8}$升酒；

（2）①a_n=2a_n-1-19，
a_n=2ⁿa₀-（2^n-1+2^n-2+…+1）×19，
（或a_n=2ⁿa₀-（2ⁿ-1）×19）；

②当n=4时，a₄=2⁴a₀-（2³+2²+2¹+1）×19．
（或写成a₄=2⁴a₀-（2⁴-1）×19）
∵在第4个店喝光了壶中酒，
∴2⁴a₀-（2³+2²+2¹+1）×19=0，
（或写成2⁴a₀-（2⁴-1）×19=0）
即16a₀-15×19=0．
解得：a₀=17$\frac{13}{16}$，
答：在第4个店喝光了壶中酒时，壶中原有17$\frac{13}{16}$升酒．

点评 此题主要考查了一元一次方程的应用以及数字变化规律等知识，正确得出相邻关系式变化规律是解题关键．