Question

如图，△OBC与△PBC均为边长为2的等边三角形，A、D分别是OB、OC上的一点，且AB=DC=1，连接AP、DP．求证：BE=EF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：先得出△BOP≌△COP，∠BOP=∠COP，BC⊥OP，BM=CM，然后得到△BOM≌△BPM，再利用相似三角形的判定与性质设EF为2x，则AD为3x，BC为6x，BM为3x，得到BE=2x，BE=EF．

解答：解：连接AD交OP于点N，

在△BOP和△COP中，

BO=CO BP=CP OP=OP

，
∴△BOP≌△COP（SSS）．
∴∠BOP=∠COP．
∴BC⊥OP，BM=CM．
在Rt△BOM和Rt△BPM中，

OB=PB BM=BM

，
∴△BOM≌△BPM（HL）．
∴OM=PM．
∵△OBC与△PBC均为边长为2的等边三角形，AB=DC=1，
∴AD是△OBC的中位线，
∴AD=

1

2

BC且AD∥BC，
∴△PFM∽△PDN．
∴

EF

AD

=

PM

PN

=

2

3

．
设EF为2x，则AD为3x，BC为6x，BM为3x，
∵OA=OD，∠BOP=∠COP，
∴AN=DN．
∴EM=FM=x，
∴BE=2x．
∴BE=EF．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质．还用到相似三角形的判定及性质．这些是基础知识要熟练掌握．