Question

3．如图，双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0），y=$\frac{12}{x}$（x＞0），P、Q为y轴正半轴上两点，设P点的坐标为（0，a-2），PQ=4，分别过P、Q两点作x轴的平行线交两支曲线于C、D、A、B（如图）
（1）若CD=3AB，求a的值；
（2）连结PA、QD，若PA⊥QD，求a的值；
（3）当四边形PQBC为矩形时，
①求a的值；
②在射线PS上从C点向右依次截取C₁C=C₂C₁=…=C_kC_k-1=PC，分别过C₁，C₂，…C_k作线段C₁B₁，C₂B₂…C_kB_k与QT垂直，垂足为B₁，B₂…B_k，问是否存在这样的正整数k使线段C_k-3B_k-3与双曲线y=$\frac{k}{x}$有交点？若存在，请求出正整数k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用a的代数式表示A、B、C、D的坐标，根据CD=3AB，列出方程即可解决问题；
（2）首先证明∠APQ=∠PDQ，由tan∠APQ=tan∠PDQ，可得$\frac{AQ}{PQ}$=$\frac{PQ}{PD}$，由此列出方程即可解决问题；
（3）①当四边形PQBC为矩形时，根据QB=PC，列出方程即可解决问题；
②用k的代数式表示C_k-3、B_k-3的坐标，根据题意列出不等式组即可解决问题；

解答 解：（1）由题意Q（0，a+2），A（$\frac{2}{a+2}$，a+2），B（$\frac{12}{a+2}$，a+2），C（$\frac{2}{a-2}$，a-2），D（$\frac{12}{a-2}$，a-2），
∵CD=3AB，
∴$\frac{12}{a-2}$-$\frac{2}{a-2}$=3（$\frac{12}{a+2}$-$\frac{2}{a+2}$），
解得a=4．
经检验a=4是分式方程的解．
∴a=4．

（2）如图连接PA、DQ交于点G．

∵PA⊥DQ，
∴∠PGD=90°，
∴∠APQ+∠DPG=90°，∠DPG+∠PDG=90°，
∴∠APQ=∠PDQ，
∴tan∠APQ=tan∠PDQ，
∴$\frac{AQ}{PQ}$=$\frac{PQ}{PD}$，
∴$\frac{\frac{2}{a+2}}{4}$=$\frac{4}{\frac{12}{a-2}}$．
解得a=$\frac{\sqrt{22}}{2}$或-$\frac{\sqrt{22}}{2}$（舍弃），
经检验a=$\frac{\sqrt{22}}{2}$是分式方程的解，且符合题意．

（3）①当四边形PQBC是矩形时，QB=PC，
∴$\frac{12}{a+2}$=$\frac{2}{a-2}$，
解得a=$\frac{14}{5}$，
经检验a=$\frac{14}{5}$的分式方程的解，且符合题意．
②由①可知P（0，$\frac{4}{5}$），C（$\frac{5}{2}$，$\frac{4}{5}$），
∵C₁C=C₂C₁=…=C_kC_k-1=PC，
∴C_k-3（[（k-2）$\frac{5}{2}$，$\frac{4}{5}$]，B_k-3[（k-2）$\frac{5}{2}$，$\frac{24}{5}$]，
由题意$\frac{4}{5}$≤$\frac{k}{（k-2）\frac{5}{2}}$≤$\frac{24}{5}$，
解得$\frac{24}{11}$≤k≤4，
∵K是整数，
∴k=4或3（舍弃），
∴k=4．

点评 本题考查反比例函数综合题、矩形的判定和性质、分式方程的解，不等式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考压轴题．