Question

11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=6，AD=4，则该四边形的面积为（　　）

• A． 9$\sqrt{7}$
• B． 12
• C． 8
• D． 8$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，然后得到∠1=∠3，再根据等角对等边可得CD=AD=4，过点D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=$\frac{1}{2}$AC，根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例求出BC，然后利用勾股定理求出AC，从而得出DE的长，最后根据四边形的面积=S_△ABC+S_△ADC，即可得出答案．

解答 解：∵CA是∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵AD=4，
∴CD=AD=4，
过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{CE}{AC}$，
即 $\frac{4}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=8，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{\sqrt{7}}^{2}}$=3，
∴四边形的面积为：$\frac{1}{2}$AB•AC+$\frac{1}{2}$AC•DE=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{7}$+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{7}$×3=9$\sqrt{7}$．
故选A．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理、三角形的面积公式等知识点，作辅助线构造出相似三角形并求出BC的长是解题的关键．