Question

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，CE⊥BD于E，AB=EC•
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠EDC=65°，求∠ECB的度数；
（3）若AD=3，AB=4，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得到∠ADB=∠EBC，又因为∠A=∠CEB=90°，推出△ABD≌△ECB；
（2）根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质得到结果；
（3）由全等三角形的性质得到对应边相等，利用勾股定理解出结果．

解答 解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC，
∵∠A=∠CEB=90°，
在△ABD与△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠CEB}\\{∠ADB=∠EBC}\\{AB=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ECB；

（2）由（1）证得△ABD≌△ECB，
∴BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=65°，
∵∠DCE=90°-65°=25°，
∴∠ECB=40°；

（3）由（1）证得△ABD≌△ECB，
∴CE=AB=4，BE=AB=3，
∴BD=BC=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
∴DE=2，
∴CD=$\sqrt{{2}^{2}{+4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，知识的综合运用是解题的关键．