Question

1．已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）求证：DE²=BD²+CD²．

Answer 1

分析 （1）易证∠EAC=∠DAB，即可证明△ACE≌△ABD；
（2）根据（1）中结论可得EC=BD，∠ACE=∠B=45°，即可求得∠ECD=90°，易求得BC得长，即可求得EC的长，在Rt△ECD中，根据勾股定理即可求得DE的长．

解答 （1）证明：∵∠EAC+∠CAD=∠EAD=90°，∠CAD+∠DAB=∠BAC=90°，
∴∠EAC=∠DAB，
在△ACE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）∵△ACE≌△ABD，
∴EC=BD，∠ACE=∠B=45°，
∴∠ECD=∠ACE+∠ACB=90°，
∵等腰直角△ABC中，AC=BC，
∴EC=BD=BC-CD，
∴在Rt△ECD中，DE²=BD²+CD²

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△ACE≌△ABD是解题的关键．