Question

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，交BC于E，延长BD，AC交于F，G为CD中点，连接OG．
（1）求证：AE=BF．
（2）若OG•DE=3（2-

2

），求⊙O面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）先证明△ACE与△BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；
（2）过点O作OH⊥BD于H，根据垂径得BH=DH，则根据三角形中位线性质得AD=2OH，再利用∠CAD=∠BAD得CD=BD，根据弦心距相等，对应的弦相等得到OH=OG，接着证明Rt△BDE∽Rt△ADB，利用相似比得到BD²=AD•DE=2OH•DE=2OG•DE=6（2-

2

），再利用等腰三角形的判定与性质得DF=BD，AB=AF，即BF=2BD，所以BF²=4BD²=24（2-

2

），设AC=x，则BC=x，AB=

2

x=AF，得到CF=AF-AC=（

2

-1）x，在Rt△BCF中，∵根据勾股定理得[

2

-1）x]²+x²=24（2-

2

），解得x=2

3

或x=-2

3

（舍去），则AB=

2

x=2

6

，于是得到半径OA=

6

，最后利用圆的面积公式计算即可．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠CAD=∠CBD，
在Rt△ACE和Rt△BCF中，

∠CAE=∠CBF ∠ACE=∠BCF AC=BC

，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF（AAS），
∴AE=BF；
（2）解：过点O作OH⊥BD于H，则BH=DH，
则OH=

1

2

AD，即AD=2OH，
又∵∠CAD=∠BAD，
∴CD=BD，
∴OH=OG，
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
∴BD：AD=DE：BD，
∴BD²=AD•DE=2OH•DE=2OG•DE=6（2-

2

），
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AD⊥BF，
而AD平分∠BAC，
∴AB=AF，
∴BD=FD，
∴BF=2BD，
∴BF²=4BD²=24（2-

2

），
设AC=x，则BC=x，AB=

2

x，
∴AF=

2

x，
∴CF=AF-AC=

2

x-x=（

2

-1）x，
在Rt△BCF中，∵CF²+BC²=BF²，
∴[

2

-1）x]²+x²=24（2-

2

），
∴x²=12，解得x=2

3

或x=-2

3

（舍去），
∴AB=

2

x=2

6

，
∴OA=

6

，
∴⊙O面积=π•（

6

）²=6π．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和等腰三角形的判定与性质；会应用勾股定理和相似比进行几何计算．