Question

8．如图，在⊙O中半径OA⊥OB，C，D是$\widehat{AB}$的两个三等分点，弦AB分别交OC，OD于E，F点．求证：AE=BF=CD．（提示：连接AC，BD，先证：AC=CD=BD）

Answer 1

分析 由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC=∠DOB，又OA=OB=OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO=∠OCD，易知∠AEC=∠OCD，因此∠ACO=∠AEC，即AE=BF=CD．

解答 解：连接AC、BD，
∵C，D是$\widehat{AB}$的三等分点，
∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
在△ACO与△DCO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}OA=OD\\∠AOC=∠DOC\\ OC=OC\end{array}\right.$
∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC，
∴AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD，
∴AE=BF=CD．

点评 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．