Question

14．如图，已知⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上的一点，作CD⊥AB于点D，以C为顶点作∠PCA=∠ACD，交BA的延长线于点P，
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P=45°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证得OC⊥PC即可；
（2）求得△OPC是等腰直角三角形，然后根据S_阴影=S_△OPC-S_扇形OAC即可求得．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠OAC=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠PCA=∠ACD，
∴∠PCA+∠OCA=90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥PC，∠P=45°，
∴△OPC是等腰直角三角形，
∴PC=OC=5cm，∠AOC=45°，
∴S_△OPC=$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，S_扇形OAC=$\frac{45π×{5}^{2}}{360}$=$\frac{25}{8}$π，
∴S_阴影=S_△OPC-S_扇形OAC=（$\frac{25}{2}$-$\frac{25}{8}$π）cm²．

点评 本题考查了切线的判定以及扇形的面积，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．